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SECON}D.$CNT.2/A/R>/M>&/PCNT0/ DNOINC:/#POSD/H N/ #POSX/ NOINCb/;l/QPOSv/ SYFLAG/PPOS/E /} "POS/ QYFLAG/N>(/ PYFLAG/ #CURX/H / #CURX/ #CURXL/H / #CURXL/ "VCNT0F  0 !LOOP0}Q> 0 PVCNT*0;40 QCNT1>0S>H0M>R0PCNT\0 PCNT1f0 QPOS1p0S>xz0 PPOS10PPOS0 QPOS10S>0 PPOS10 P}POS0;0 QCURXS0S>0 PCURXS0 PCURX0 QCURXS0S>0 !ENTRY21X;1 ZSMOOTH17$1QX.1 PSPOS81QYB1 PS}POSL1Q>V1?`1SILOj1PCOLLIS8t13~1 HSILO1$>1 SLOOP1 Q@SPOS71>1,1 OCOLLIS81W?1M>1 PSTEMP1}A1M>1,2OCOLLIS(8 2V?2 LSTEMP2 P@SPOS7(2A22M><2 PCOLLIS8F2AP2M>Z2PCOLLIS(8d23n2)>(x2 DSLOOP2}%>2,2 QSPOS2O>(2 PSPOS2D 2 #SPOS202 HSLOOP2:2ZZZ2I>Z2PCOLLIS(8d23n2)>(x2 DSLOOP2T{ "X; ϭˠ̮X; ̠X; 򠱹(X;2 MULT <Q FN PP !}Z Q d>nM>xL> PLL11L> PLH11 PLH10 QM16LIS9L>` PHL11L> PHH11"} PHH10X; Q >M>L> PLL21" PLL22,L>6 PLH21@ PLH22J PLH20T QM16LIS9^#}L>`h PHL21r PHL22|L> PHH21 PHH22 PHH20X; Q >M>L> PLL31 PLL32$} PLL33L> PLH31 PLH32 PLH33 QM16LIS9&L>`0 PHL31: PHL32D PHL33NL>X P%}HH31b PHH32l PHH33vX;, % Q8LL11O8HL11 PX1Y3Q8LH11O8HH11&} PX1Y3X;Q8 LL21O8 HL21* PX2Y34Q8>LH21HO8RHH21\ PX2Y3fX;pQ8zLL31O'}8HL31 PX3Y3Q8LH31O8HH31 PX3Y3X; % Q8LH10O8HH10 PX1Y2(}Q8$LL22.O88HL22B PX2Y2LQ8VLH22`O8jHH22t PX2Y2~X;Q8LL32O8HL32 P)}X3Y2Q8LH32O8HH32 PX3Y2X; % Q8 LH20O8HH20( PX2Y12Q8<LL33F*}O8PHL33Z PX3Y1dQ8nLH33xO8HH33 PX3Y1X; QX2Y2 OX1Y3 P  QX1Y3 OX2Y3+}> QX2Y3 OX3Y3? Q  OX3Y1 P A" OX3Y1,>6C@ OX3Y2J?T Q ^ OX1Y2h P ,}rA| OX2Y2D 3,> Q  OX2Y1 P A OX3Y2 P D 3 '  QX3Y3-}X;&X;0 ADD :Q DN N FGLEICHX Q b R lDK2vHK1 Q  R DK2HK1 Q .} R EK1K2Q P ; Q  S  P   Q  S   P * Q 4 S >/} P H !EXMADDRK1\;f Q p S z P  Q  S  P  Q  S  P  !0}EXMADD GLEICH, Q  O  P  Q  O  P  Q $ O . P 8 EXMADDB L1} X;V ADD1 ` Q j N t FGLEICH~ Q  R  DK2 HK1 Q  R  DK2 HK1 Q  R 2} DK2 HK1 Q  R  EK1 K2 Q ( P 2 ;< Q F S P P Z Q d S n P 3}x Q  S  P  Q  S  P  !EXMADD K1 Q  ; Q  S  P  Q 4} S  P  Q " S , P 6 Q @ S J P T !EXMADD^ GLEICHh Q r ,| Q 5} O  P  Q  O  P  Q  O  P  Q  O  P  EXMADD 6} X; X; MOVE & $>0 MOVELP: Q 9D P 9N 0X IMOVELPb l X;v SQUARE Q  > M> L> PLL7}11 L> PLH11 PLH10 QM16LIS9 L>` PHL11 L> PHH11 PHH10 X; Q  >* M>48} L>> PLL21H PLL22R L>\ PLH21f PLH22p QM16LIS9z L>` PHL21 PHL22 L> PHH21 9} PHH22 X; Q  > M> L> PLL31 L> PLH31 QM16LIS9L>` PHL31$L>. PHH318:}X;B,L % VQ8`LL11jO8tHL11~ PX1Y3Q8LH11O8HH11 PX1Y3X;Q8LL21;}O8HL21 PX2Y3Q8LH21 O8HH21 PX2Y3(X;2Q8<LL31FO8PHL31Z PX3Y3dQ8n<}LH31xO8HH31 PX3Y3X; % Q8LH10O8HH10 PX1Y2Q8LL22O8HL22=} PX2Y2Q8LH22"O8,HH226 PX2Y2@X;J QX1Y2TT?^ P h QX1Y3rU?|> QX2Y3U?>}? Q  OX1Y3 P A OX2Y2>C OX3Y3? Q  OX1Y3 P A& OX2Y30>:CDO>N?}?X Q b OX2Y2l P vA OX2Y3 P CO> P  QX3Y3A& OX2Y30>:CDO>N\12 4 1 5 0 10 70 2 12 1441FRACTAL EXPRESS - EIN SCHNELLES UND VIELSEITIGES FRACTAL-PROGRAMMSp testens seit SpiA}elen wie RESCUE ON FRACTALUS interessiert sich jeder Computerbesitzer f r Fractals, und besonders f r deren Anwendung in 3 DiB}mensionen. Fractals - sie spiegeln die Struktur des realen Universums wieder mit ihren unberechenbaren, niemals endenden VerzC}weigungen und den sich st ndig wiederholenden Mustern, die sich doch niemals genau gleichen.Nur eins ist an diesen bizarrenD} Bildern nicht faszinierend: die Rechenzeit. Wer hat schon Lust, seinen Computer f r Stunden oder gar f r Tage zu blockieren E}? Das Programm FRACTAL EXPRESS schafft hier abhilfe: Es kann schon innerhalb von einigen Minuten interessante Bilder erzeugenF}, und Sie werden kaum jemals ein Bild l nger als 15 minuten berechnen lassen. Dar ber hinaus bietet FRACTAL EXPRESS ansprecheG}nde 3D-Grafiken in 2 Grafikmodi.DIE MATHEMATIKDa FRACTAL EXPRESS mehr Mglichkeiten bietet als der mittlerweile recht H}bekannte Apfelm nnchen-Algorithmus, kommt man nicht darum herum, etwas auf die mathematischen Grundlagen einzugehen.Der gruI}ndlegende Algorithmus beruht darauf, eine Folge von irreellen Zahlen zu erzeugen: Eine irreelle Zahl Z wird auf 0 initialisieJ}rt. Dann wird die Rechenvorschrift Z:=Z0942+c(wobei c eine Festzulegende irreelle Konstante ist)so lanK}ge mit ihr durchgef hrt bis013- die L nge des zu Z gehrenden Vektors einen bestimmten 15Schwellwert berschreitet (Er L}liegt im Programm bei 2). Dies ist der Normalfall. Das Ergebnis ist die Anzahl der Durchl ufe, die dazu notwendig waren.13M}- die Anzahl der Durchl ufe einen festzulegenden Wert berschreitet, ohne da die 15regul re Abbruchsbedingung auftrat. DiesN}er Wert ist die Iterationstiefe.110Die zweite Abbruchbedingung stellt eine Art von Notbremse dar, denn es gibt Werte f r O}c, f r die die erste Abbruchsbedingung niemals erreicht w rde; mit anderen Worten, die Folge konvergiert gegen einen endlicheP}n Wert. Die Werte von c, f r die dies zutrifft, gehren zur sogenannten Mandelbrotmenge. Um so gr er die Iterationstiefe istQ}, desto n her kommt man der mathematischen Realit t.Die Apfelm nnchen-Bilder entstehen nun, indem dem Bildschirm ein bestimR}mter Ausschnitt aus der Ebene der irreellen Zahlen zugeordnet wird und f r jeden Pixel die Apfelm nnchen-Folge mit einem bestS}immten Wert f r c durchgerechnet wird. Tritt die erste Abbruchsbedingung auf, so wird der Punkt in einer Farbe geplottet, dieT} sich aus der Anzahl der Durchl ufe ergibt. Gehrt er jedoch zur Mandelbrotmenge, so wird der Punkt schwarz gelassen.Es istU} allerdings auch mglich, das Ergebnis der 'Apfelm nnchenfunktion' als dritte Dimension zu interpretieren und als Hhe abzutrV}agen. Dabei ergeben sich faszinierende Gegirgslandschaften und realistisch anmutende 'Flu t ler'.Nat rlich kann man Z auch W}auf andere Werte als 0 initialisieren. Dies erffnet ein neues Universum von Mustern.FRACTAL EXPRESS bietet wahlweise einenX} etwas modifizierten Algorithmus zur Bildberechnung: Hierbei wird c f r alle Bildpunkte der gleiche Wert zugeordnet, w hrend Y}es jetzt die Anfangswerte von Z sind, die mit den Bildschirmkoordinaten variieren. Dabei entstehen sogenannte Chaos-Grafiken,Z} die jedoch nicht ganz so Variantenreich sind wie die Apfelm nnchen-Bilder.DIE GESCHWINDIGKEITUm es gleich vorweg zu ne[}hmen: FRACTAL EXPRESS ist etwa 55 mal schneller als ein entsprechendes BASIC-Programm. Wie es das macht ? Daf r gibt es vier \}Gr nde: - Die Bildberechnung l uft in reiner Maschinensprache ab13- F r die Zahlen wird eine duale Festkommadarstellung]} verwendet; 15Festkommaberechnungen lassen sich mit wesentlich weniger Aufwand durchf hren als Flie kommaoperationen13- F^} r die Multiplikationen, die ja den Lwenanteil der Rechenzeit 15verbrauchen, wird ein sehr schneller Algorithmus verwendet._}Er beruht darauf, da zuvor lange Listen angelegt werden, aus denen Teilergebnisse direkt hervorgehen.13- Die Genauigk`}eit ist nicht sehr gro ; es werden nur 2 Byte hinter 15dem Komma berechnet. Dies entspricht knapp 5 Dezimalstellen.10Hiera} das Ergebnis eines kleinen Geschwindigkeitsvergleichs:Berechnet worde ein vollst ndiges Apfelm nnchen in GRAPHICS 15 mit db}en unter PRAKTISCHE TIPS angegebenen Parametern. (F r dieses Bild m ssen schon ber 1.2 Millionen Multiplikationen durchgef hc}rt werden) ATARI BASIC 7 Std. TURBOBASIC 2 Std. 16 Min. FRACTAL EXPRESS 7d} Min. 46 Sek.DIE BEDIENUNGAus jeder aufgerufenen Funktion kehrt das programm wieder ins Hauptmenue zur ck (nach einem e}Tastendruck, sofern es sinnvoll ist). Es folgt eine Beschreibung der einzelnen Menuepunkte:EINGABEDer alte Wert jedes eif}nzugebenden Parameters wird am linken Bildschirmrand angezeigt. Soll er nicht ver ndert werden, so dr cken Sie einfach RETURNg}. Dies erlaubt es, einen Parameter zu ndern, ohne alle anderen neu eingeben zu m ssen. Alle Parameter sind vorbelegt. Werdeq}b%DOS SYSb*)DUP SYSbSAUTORUN SYSbUUFRACTAL BASbFRACTAL OBJb\FRACTAL M65b FRACTAL LIBbo@FRACTAL TXTb>CHAOS2 001`-----------`FRACTAL ` EXPRESS`-----------`ABBUC PD-`Bibliothek ` `Th.Schwacke`Heinestr.17`4352 Herten`-----------n sie nicht ge ndert, so ergibt sich ein CHAOS-Bild, das den gesamten interessanten Bereich zeigt.Zun chst werden die Begrenr}zungen des Ausschnitts aus der komplexen Ebene eingegeben. Die Bedeutung der Konstanten XC und YC h ngt vom verwendeten Reches}nalgorithmus ab; bei der CHAOS-Grafik stehen sie f r die Komplexe Konstante c, w hrend sie beim Apfelm nnchen als Anfangswertt} von Z interpretiert werden. Um ein echtes Apfelm nnchen zu erhalten, m ssen beide 0 sein; andere Werte bieten jedoch Raum zuu}m experimentieren.Die Iterationstiefe bestimmt die maximale Anzahl der Schleifendurchl ufe f r einen Bildschirmpunkt. F r CHv}AOS-Grafiken ist 25 ein guter Wert, w hrend es beim Apfelm nnchen 100 sein sollte. Erlaubt sind Werte von 0 bis 255. Dann istw} nur noch zu entscheiden, ob ein Apfelm nnchen oder eine Chaos-Grafik berechnet werden soll.RECHNENHier endlich beginnt x}das Programm mit der eigentlichen Arbeit. Dabei wird das entstehende bild auf dem Bildschirm gezeigt. Mit einem Druck auf diey} Leertaste kann die Bildschirmausgabe abgeschaltet werden, was die Berechnung aus Hardwaregr nden etwa 30% schneller macht. Ez}in weiterer Druck auf die Leertaste schaltet den Bildschirm wieder an. Mit ESC kann der Vorgang abgebrochen werden.Sobald di{}e Berechnung abgeschlossen ist, meldet sich der Computer mit einem akustischen Signal. Nach einem Tastendruck kehrt man ins H|}auptmenue zur ck, wo unter dem Menue die Rechenzeit angezeigt wird.SPEICHERNFalls Sie sich vertippt haben, dr cken Sie }}einfach RETURN ohne vorherige Eingabe, um direkt wieder ins Hauptmenue zu gelangen. Ansonsten kann jeder g ltige Dateiname ve~}rwendet werden, ebenso Ger tebezeichnungen wie D8:APFEL.PIC (wenn eine entsprechende Ramdisk installiert ist) oder C: . Das B}ild im Speicher wird im blichen 62-Sektoren-Format abgespeichert, an das die Parameter angeh ngt werden. So kann das berechn}ete Bild mit Malprogrammen weiterbearbeitet werden. Es werden brigens immer die wirklich zum Bild gehrenden Parameter abges}peichert; eine {nderung durch EINGABE oder ZOOM hat auf diese keinen Einflu .LADENL dt ein abgespeichertes Bild. Gleichz}eitig werden die dazugehrenden Parameter wiederhergestellt.ZOOMMit ESC kann dise Funktion ohne weitere Auswirkung verla}ssen werden. Mit Hilfe der Zoom-Funktion kann ein Ausschnitt aus einem vorher berechneten Bild ausgew hlt werden. Die Steueru}ng erfolgt per Joystick. Dabei wird die linke obere und die rechte untere Ecke des ausschnitts mittels je eines Winkels marki}ert; mit einem Knopfdruck wird die Steurung zwischen den beiden Winkeln umgeschaltet. Wenn die richtige Position gefunden ist}, dr cken Sie START. Nur wenn das Bild im Vierfarbmodus 0 vorliegt und alle Ecken innerhalb der Grafik liegen, fragt das Prog}ramm, ob der Ausschnitt eingerahmt werden soll. Wird diese Frage mit 'J' beantwortet, so ist noch die Nummer der Farbe (0-3) }anzugeben. In den meisten F llen ist die Hintergrundfarbe 0 zu empfehlen. Es wird der Bereich innerhalb der Umrandung berechn}et, ausschlie lich der Umrandung selbst. Nat rlich arbeitet ZOOM nicht in den 3D-Modi.GRAFIK-MODUSFRACTAL EXPRESS bietet} f nf Darstellungsarten zur Auswahl:0Modus Auflsung Farben Art 0 160 x 192 4 } Ebene 1 80 x 192 16 Helligkeiten Ebene 2 320 x 192 2 3D-Raster} 3 80 x 192 16 Helligkeiten 3D-Landschaft 4 320 x 192 2 Ebene1Je nach }dem gew hlten Modus m ssen verschiedene Darstellungsparameter festgelegt werden. F r Modi 0,1 und 4 fragt das Programm nach d}er Anzahl der Zonen pro Farbe. Eine Zone ist eine Fl che, f r deren Punkte sich die gleiche Anzahl von Schleifendurchl ufen e}rgibt. Standardm ig wird jeder Zone eine Farbe zugeordnet. Oftmals verh lt sich die Apfelm nnchenfunktion jedoch so unberech}enbar, da in vielen Bereichen nur noch ein wildes Chaos von Punkten erkennbar ist. Um dies zu vermeiden, kann mehreren aufe}inanderfolgenden Zonen die gleiche Farbe zugeordnet werden. Bei Apfelm nnchen-Grafiken erh lt man mit 5 Zonen pro Farbe gute }Bilder.F r Modus 2, ein dreidimensionales Raster in hochauflsender Grafik, wird einer Zone nicht eine Farbe, sondern ein H}he in Pixel zugeordnet. Daher wird die Gesamthhe der Grafik in Pixel verlangt. Dieser Wert wird so umgerechnet, da sich die} mglichen Werte der Apfelm nnchenfunktion von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe auf die angegebene Hhe verteilen. Es kann} also durchaus sein, da die Grafik diese Hhe tats chlich nicht erreicht, da in dem dargestellten Ausschnitt nicht alle denk}baren Werte vorkommen.Es bleibt nur noch die Frage nach Berg oder Tal zu beantworten. Wird "Berge" gew hlt, so wird ein Erge}bnis von 0 als unterstes Niveau dargestellt; die Mandelbrotmenge wird zu einem Hochplateau. Bei "T ler" wird das Bild in der }dritten Dimension "umgedreht", diesmal wird die 0 als Hchste Erhebung interpretiert.Bei Modus 3 kommt zu den beiden eben be}schriebenen noch die Frage nach der gesamten Anzahl der Farbwechsel. Standardm ig liegt dieser Wert bei 15. Das bedeutet, da} 15 Helligkeitswerte auf die gesamthhe des Bildes aufgeteilt werden. Dieser Wert sollte normalerweise nicht ge ndert werden}. Eine {nderung ist nur dann sinnvoll, wenn im ausgew hlten Bereich nicht alle Werte von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe }vorkommen. Dann mu er so gew hlt werden, da allein auf den sich ergebenden Bereich 15 Farbwechsel kommen; auf die Gesamthh}e von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe kommen also mehr als 15.BILD ZEIGEN (G,R)Diese Fuktion zeigt das gerade im Spe}icher befindliche Bild. Mit der Taste 'G' lassen sich die in den 16-Farben-Modi 1 und 3 berechneten Bilder 'gl tten'. Dabei w}ird jedem Punkt die Farbe zugewiesen, die sich als Durchschnitt seiner alten Farbe und der Farbe des Punktes dar ber ergibt. }Mit 'R' knnen die Farben rotiert werden, was nur in Modus 0 sinnvoll ist. Dadurch entsteht, besonders bei Chaos-Grafiken, ei}n Bewegungseffekt. Mit jeder anderen Taste gelangt man zur ck ins Hauptmenue.DIRECTORYgibt das Inhaltsverzeichnis der Di}skette aus.PARAMETER DRUCKENDiese Funktion gibt die momentanen Parameter auf einem Drucker aus. Falls das Bild schon ber}echnet worden ist, wird auch die Rechenzeit angedruckt.AUSGEBEN PARAMETERDie gleichen Parameter wie bei PARAMETER DRUCKE}N werden auf dem Bildschirm gezeigt.FARBWAHLFRACTAL EXPRESS stellt 6 Farbpaletten zur verf gung, die mit den Tasten 1 bi}s 6 ausgew hlt werden knnen. Nicht jede Palette eignet sich f r jeden Grafikmodus: F r Modus 0 empfehlen sich Paletten 1-5, }f r die 16-Helligkeiten-Modi knnen alle verwendet werden, und f r den hochauflsenden Modus kann man zwischen 1,5 und 6 w hl}en.EINIGE PRAKTISCHE TIPSWer eine Reise in das Reich der Mathematik unternehmen will, beginne am besten mit einer fris}ch formatierten Diskette und Folgenden Apfelm nnchen-Parametern: linker Rand = -2.5 rechter Rand = 2.5} oberer Rand = -1.5 unterer Rand = 1.5 XC = 0 YC = 0 } Iterationstiefe = 100 Modus 0, 5 Farben pro ZoneDas entsprechende Bild zeigt ein vollst ndiges Apfelm nnchen. Vo}n dort aus kann man sich nun einen interessanten Bereich heraussuchen und sich immer weiter 'hineinzoomen'. Will man die Folg}e der Bilder sp ter nachvollziehen, so speichert man die berechneten Bilder erst ab, wenn der n chste Ausschnitt mit der ZOOM}-Funktion herausgesucht und umrahmt worden ist.Leider setzt die Rechengenauigkeit alsbald Grenzen. Bei einer Hhe oder Breit}e von einer hundertstel Einheit zeigen sich in Modus 0 die ersten Ungenauigkeiten. Wenn Sie also den Ausschnitt jedesmal so w} hlen, da die Ausdehnung jedes Bildes ein Viertel der Hhe und Breite des vorhergehenden betr gt, kommen Sie auf eine Folge }von 5 Bildern, bis die Grenzen der Rechengenauigkeit erreicht sind.HINWEISE ZUR EINGABEFRACTAL EXPRESS besteht aus eine}m BASIC-Teil namens FRACTAL.BAS und einem Maschinensprache-teil FRACTAL.OBJ, der beim ersten Programmstart vom BASIC-Programm} geladen wird.FRACTAL EXPRESS l uft nur auf einem ATARI 800XL und 130XE und auch nur unter ATARI BASIC, da wegen der oben er}w hnten Multiplikationslisten der Speicherplatz 'unter' dem BASIC-ROM angesprochen werden mu .Bei der Eingabe von FRACTAL.BA}S mu Zeile 20 als erste (au er den REM-Zeilen) eingegeben werden, wobei kein anderes Programm im Speicher sein darf. Wurde d}ies vergessen, so kann man sich behelfen, indem man das Programm mit LIST abspeichert und nach einem NEW mit ENTER wieder ein}liest. } Oż0c` \~c?aγ5Ϳq)!}os8?-^~sx෯]/Ա!}Lܰ|?oZU0},}_qe!}/ =/?_1N8>9lnZ8xem!}cp? r'?Ns?G'|X??_[`!}?8?9_`p#?8#wWx>~8x!}]^ذ09??!}p8͸AY߀1SO'O~<9}C!}@y?p0~oc#/O_g?!} c?9s>_?xcx7`JW~a~g< ?ǟ!}p0?#ve|s8/7a3>78>c!}eOW@yC[w:9_GÙ]?O~!}ؕ? ^Oˏ?+XGci!}G2#~\Ƀ8_g>!}~N''#<??c? 0/$G!}?q'ر?0G?>I!}sN}8?? Op?!}ÞB?/?0|?07??!}a㛁g_??^ !}}??ߟ^p?8?~pM5Gp?!}p~~q?!}ῳ?ρx???!}~:x;>?~gΠ?|wp>!}|So?|k|jWO??!}xʗc?y яr??w!}a?tuq?˃l?r1!}<swoo8yw?K2_?`?v`L~3p?O~2np?!}L|+p?6}xo4p?=Opvf_x!}`mixPo <5!}?͍<N?6!}?.p@_?_?N!}_SV>?!}K>??ǃ>|>?|!}<s~?|8\~?|x??o!}?8??<!}????/~?q!}?~+OÀǏ~߯!}zg=Iπ0zGwG???!}s?Ws?`ٯ?8G!}o>8 'O8By0wc`q?r!}38;9y? po}Yǀ|?q5 !}ч?y?$ yۇ?ǯ!}7<?įAr~|oS_?s:_W!}~L/yooCoԡ!}cz?O0߇~8]`?_!}\ 1ƒ9Wq|ُ`?|q}!}=???8>+nM ?|o~=????~Ro?!}w |=OΜ?opOW?˹!}~ y?ۑˇyg'¾݅<~??𯙀h!}y89? _ /`p xo+!}Ø|7p33s?_~<'N<9?!}_ x/Q)!}r;N08ƿc?HqǀZv6ٜ|?!}r?w=#5ǎ͘?3)4i!}9߾?{? 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